Аналіз коефіцієнта ексцесу узагальнених розподілів Капланського

О.І. Красильніков, канд. фіз.-мат. наук
e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.;
https://orcid.org/0000-0001-5666-6459

Èlektron. model. 2026, 48(2):03-23

Cтаття надійшла до редакції / Received 06.08.2025
Прийнята до друку / Accepted 17.04.2026
Опубліковано / Published 05.05.2026

© О.І. Красильніков, 2026
Стаття поширюється на умовах ліцензії відкритого доступу CC BY 4.0

Повний текст: PDF

АНОТАЦІЯ

Проаналізовано щільності імовірностей  наведені у повідомленні І. Кап­ланського (1945 р.) як приклади, що спростовують трактування коефіцієнта ексцесу як міри гостровершинності розподілів. Визначено узагальнені розподіли Капланського К1, …, К4, щільності імовірностей яких  є сім’єю двокомпонент­них сумішей симетричних розподілів з довільним ваговим коефіцієнтом p. Досліджено залежність властивостей щільностей імовірностей  та їх коефіцієн­та ексцесу  від вагового коефіцієнту p. Здійснено порівняння значення у нулі стан­дартизованих щільностей імовірностей  зі значенням стандартного нормального розподілу . Отримані результати дозволяють здійснювати матема­тичне і комп’ютерне моделювання безлічі прикладів негаусових симетричних щільнос­тей імовірностей, які спростовують трактування коефіцієнта ексцесу як міри гостро­вершинності розподілів.

КЛЮЧОВІ СЛОВА:

негаусові симетричні розподіли, коефіцієнт ексцесу, двокомпо­нентні суміші розподілів, кумулянтні коефіцієнти, кумулянтний аналіз.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их пре­образований. Москва: Сов. радио, 1978. 376 с.
2. Wang H., Chen P. Fault Diagnosis Method Based on Kurtosis Wave and Information Divergence for Rolling Element Bearings. WSEAS Transactions on Systems. Vol. 8, Issue 10. P. 1155—1165.
3. Blanca M.J., Arnau J., Lopez-Montiel D., Bono R., Bendayan R. Skewness and kurtosis in real data samples. 2013. No. 9. P. 78—84. DOI: https://doi.org/10.1027/1614-2241/a000057
4. Downey T.J.G., Martin P., Sedlaček M., Beaulieu L.Y. A Computational Analysis of the Application of Skewness and Kurtosis to Corrugated and Abraded Surfaces. Quarterly Physics Review. 2017. Vol. 3, Issue 3. P. 1—9
5. Красильников А.И., Берегун В.С., Полобюк Т.А. Кумулянтные методы в задачах шумовой диагностики теплоэнергетического оборудования / Под общ. ред. А.И. Красильникова. Киев: Освита Украины, 2019. 228 с.
6. Mohammed T.S., Rasheed M., Al-Ani M., Al-Shayea Q., Alnaimi F. Fault Diagnosis of Rotating Machine Based on Audio Signal Recognition System: An Efficient Approach. International Journal of Simulation: Systems, Science & Technology. Vol. 21, No. 1. P. 8.1—8.8. DOI: 10.5013/IJSSST.a.21.01.08
7. Müller R.A.J., von Benda-Beckmann A.M., Halvorsen M.B., Ainslie M.A. Application of kurtosis to underwater sound. Acoust. Soc. Am. 2020. Vol. 148, No. 2. P. 780—792. DOI: https://doi.org/10.1121/10.0001631
8. Запевалов А.С., Гармашов А.В. Асимметрия и эксцесс поверхностных волн в при­брежной зоне Черного моря. Морской гидрофизический журнал. Т. 37, № 4. С. 447—459. DOI:10.22449/0233-7584-2021-4-447-459
9. Owsiński R., Niesłon A. Fatigue Test of 6082 Aluminum Alloy under Random Load with Controlled Kurtosis. Materials. 2021. 14, Issue 4. P. 1—16. https://doi.org/10.3390/ma14040856
10. Krasilnikov A., Beregun V. Cumulant Detector of Non-Gaussian Signals against Background of Non-Gaussian Interferences. Radioelectronics and Communications Systems. 2024. Vol. 67, No. 6, P. 317—330. https://doi.org/10.3103/S0735272724060037
11. Joiner B.L., Rosenblatt J.R. Some properties of the range in samples from Tukey’s symmetric lambda distributions. Amer. Statist. Assoc. 1971. Vol. 66, No. 334. P. 394—399.
12. Johnson M.E., Tietjen G.L., Beckman R.J. A New Family of Probability Distributions with Applications to Monte Carlo Studies. Amer. Statist. Assoc. 1980. Vol. 75, No. 370. P. 276—279.
13. Kale B.K., Sebastian G. On a Class of Symmetric Nonnormal Distributions with a Kurtosis of Three. Statistical Theory and Applications / H.N. Nagaraja et al. (eds.). Springer-Verlag New York, Inc., 1996. P. 55—63.
14. Barakat H.M., Aboutahoun A.W., El-kadar N.N.A New Extended Mixture Skew Normal Distribution, With Applications. Revista Colombiana de Estadstica. 2019. Vol. 42, Issue 2. P. 167— DOI: http://dx.doi.org/10.15446/rce.v42n2.70087
15. Krasil’nikov A.I. Class non-Gaussian distributions with zero skewness and kurtosis. Radioelectronics and Communications Systems. Vol. 56, No. 6. P. 312—320. DOI: https://doi.org/10.3103/S0735272713060071
16. Красильников А.И. Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса. Электронное моделирование. Т. 39, № 1. С. 3—17. DOI: https://doi.org/10.15407/emodel.39.01.003
17. Красильніков О.І. Класифікація моделей двокомпонентних сумішей симетричних розподілів з нульовим коефіцієнтом ексцесу. Електронне моделювання. 2023. Т. 45, № 5. С. 20—38. DOI: https://doi.org/10.15407/emodel.45.05.020
18. Красильніков О.І. Моделювання двокомпонентних сумішей зсунутих розподілів з нульовими кумулянтними коефіцієнтами. Електронне моделювання. 2024. Т. 46, № 4. С. 19— DOI: https://doi.org/10.15407/emodel.46.04.019
19. Kaplansky I. A common error concerning kurtosis. Statist. Ass. 1945. Vol. 40, Issue 230. P. 259.
20. Balanda K.P., MacGillivray H.L. Kurtosis: A Critical Review. The American Statistician. 1988. Vol. 42, No 2. P. 111—119.
21. De Carlo L.T. On the meaning and use of kurtosis. Psychological Methods. Vol. 2, No. 3. P. 292—307.
22. Westfall P.H. Kurtosis as Peakedness, 1905–2014. R.I.P. The American Statistician. 2014. Vol. 68, No. 3. P. 191—195.
23. Bury K. Statistical Distributions in Engineering. New York: Cambridge University Press, 1999. 362 p.
24. Walck C. Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists. Stockholm: University of Stockholm, 2007. 202 p.
25. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. Санкт-Петербург: Наука, 2001. 295 с.
26. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.
27. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. Москва: Высш. шк., 2006. 575 с.
28. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. Москва: Айрис-пресс, 2013. 288 с.
29. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Москва: Наука, 1977, 228 с.