«Электронное моделирование»

Том 37, № 4 (2015)

ЗМІСТ

Математичне моделювання та обчислювальні методи

	САУХ С.Е. Метод смещения малых элементов в обобщенных якобианах Кларка для обеспечения численной устойчивости квазиньютоновских методов решения вариационных неравенств	3-18
	ТИМЧЕНКО Л.И., КУТАЕВ Ю.Ф., ЧЕПОРНЮК С.В., КОКРЯЦКАЯ Н.И., ЯРОВОЙ А.А. Способ обнаружения сигналов в шумах на основе метода S-препарирования для автоматических измерителей координат корреляционного типа	19-36
	БОМБА А.Я., ПРИСЯЖНЮК Е.В. Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде	37-52
	ВЛАДИМИРСКИЙ Э.И., ИСМАЙЛОВ Б.И. Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами	53-62

Обчислювальні процеси і системи

КРАВЕЦ П.И., ШИМКОВИЧ В.Н., ФЕРЕНС Д.А.
Метод и алгоритмы реализации на ПЛИС функции активации для искусственных нейронных сетей

63-74

Застосування методів і засобів моделювання

	KRAVTSOV H., KOTSIUBA I., PRYTULYUK I. The cybersecurity modeling in critical infrastructures	75-84
	ФАРХАДЗАДЕ Э.М., МУРАДАЛИЕВ А.З., ФАРЗАЛИЕВ Ю.З. Особенности расчета показателей индивидуальной надежности оборудования и устройств электроустановок	85-96
	ПОДОЛЬЦЕВ А.Д., КУЧЕРЯВАЯ И.Н. Мультифизическое моделирование процессов индукционного нагрева и плавления проводящих заготовок с концентратором магнитного потока	97-108
	ГАВРЫШ В.И. Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями	109-118
	СТЕЦЕНКО И.В., БЕДЕРАК Я.С. Восстановление и оперативное прогнозирование методом Хольта электропотребления предприятий с непрерывным циклом работы	119-126

Кольорові малюнки до статей - на вклейках

Метод смещения малых элементов в обобщенных якобианах Кларка для обеспечения численной устойчивости квазиньютоновских методов решения вариационных неравенств

С.Е. Саух, д-р техн. наук
Ин-т проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины
(Украина, 03164, Киев-164, ул. Генерала Наумова, 15,
e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

АННОТАЦИЯ

Проведено аналіз нескінченно малих елементів матричних компонентів узагальненого якобіана Кларка функції Фішера—Бурмейстера і визначено умови виникнення сингулярност і таких матричних компонентів. Аналогічний аналіз проведено за умов кінцево-розрядних обчислень малих елементів тих же матричних компонентів. Досліджено умови виникнення погано обумовлених і сингулярних матричних компонентів узагальнених якобіанів Кларка для негладких систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, які формуються спеціальними методами перетворення задач на варіаційні нерівності. Розроблено метод зсуву малих елементів матричних компонентів узагальненого якобіана Кларка, який забезпечує чисельну стійкість квазіньютонівських методів ітераційного розв’язку варіаційних нерівностей.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

обобщенный якобиан Кларка, квазиньютоновские методы, численная устойчивость, метод смещения, малые величины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems. — Vol. I. — N-Y : Springer, 2003. — 728 p.
2. Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems. — Vol. II. — N-Y : Springer, 2003. — 728 p.
3. Ruggiero V., Tinti F. Apreconditioner for solving large scale variational inequality problems by a semismooth inexact approach // Intern. Journal of Computer Mathematics.—2006.—N 10. — P. 723—739.
4. Petra S. Semismooth Least Squares Methods for Complementarity Problems: Ph.D. Thesis.—Wurzburg, 2008. — 162 p. — http://www.opus-bayern.de/uni-wuerzburg/volltexte/2006/1866/pdf/dissertation_petra.pdf.
5. Kanzow C. Inexact Semismooth Newton Methods for Large-Scale Complementarity Problems. — Wurzburg: Institute of Applied Mathematics and Statistics, 2003. — 22 p. — http://www.mathematik.uniwuerzburg.de/~kanzow/paper/InSemiP.pdf.
6. Billups S. C., Dirkse S. P., Ferris M. C. A comparison of large scale mixed complementarity problem solvers //ComputationalOptimization and Applications.—1997.—№7.—P. 3—25.
7. Fischer A. A. Special Newton-type optimization method // Optimization. — 1992. — Vol. 24. — № 3—4. — P. 269—284.
8. Dirkse S.P., Ferris M.C. The PATH solver: A non-monotone stabilization scheme for mixed complementarity problems // Optimization Methods and Software. — 1995. — №5.— P. 123—156.
9. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems.—Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. — 548 p.
10. Energy Research Centre of the Netherlands. COMPETES input data [Internet]. Available from: http://www. ecn.nl/fileadmin/ecn/units/bs/ COMPETES/ flowgate-information.xls [accessed 2015 June 17], cost-functions.xls [accessed 2015 June 17].
11. Саух С.Е. Методы компьютерного моделирования конкурентного равновесия на рынках электроэнергии // Электрон. моделирование. — 2013. — 35, № 5. — С. 11—26.
12. Саух С.Е. Метод CR-факторизации матриц большой размерности // Там же. — 2007. — 29, № 6. — С. 3—22.

САУХ Сергей Евгеньевич, д-р техн. наук, гл. науч. сотр. Ин-та проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины. В 1978 г. окончил Киевский ин-т инженеров гражданской авиации. Область научных исследований — численные операторные методы решения дифференциальных уравнений, декомпозиционные и итерационные методы решения линейных систем большой мерности, математическое моделирование технологических процессов в энергетике и газотранспортных системах, экономико-математические методы моделирования финансовых и макроэкономических процессов.

Полный текст: PDF (русский)

Способ обнаружения сигналов в шумах на основе метода S-препарирования для автоматических измерителей координат корреляционного типа

Л.И. Тимченко ¹, д-р техн. наук, Ю.Ф. Кутаев ², канд. техн. наук,
С.В. Чепорнюк ³, Н.И. Кокряцкая ¹, канд. техн. наук, А.А. Яровой ⁴, д-р техн. наук
¹ Государственный экономико-технологический университет транспорта
(Украина, 03049, Киев, ул. Лукашевича,19, тел.: +380673550976,
+380432531123, е-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її., Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.),
² Конструкторское бюро «JSC KIA Systems»
(Россия, 111024, Москва, ул. 2-я энтузиастов, 5/34,
тел. +79295875703, е-mail: skb-skb@ mail.ru),
³ ООО «КСК-Автоматизация»
(Украина, 02095, Киев, ул. Срибнокильская, 24а/25,
тел. +380676580797, е-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.),
⁴ Винницкий национальный технический университет
(Украина, Винница, ул. Хмельницкое шоссе, 95,
тел. +380432598243, е-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

АННОТАЦИЯ

Розроблено метод S-препарування, який має високу завадостійкість і адаптивність до невизначеності та мінливості завадо-сигнальної обстановки з урахуванням попереднього конвеєрного формування сум згортання зображень, що корелюються. Наведено класифікацію кореляційних алгоритмів.Метод дозволяє визначати координати істинного зсуву фону зображення з точністю до одного дискрету. Розроблено і реалізовано на практиці структурну схему пристрою кореляційного аналізу для електронного моделювання.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

корреляция, метод S-препарирования, контурное препарирование, изображения, градиент.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ima J., Jensen J.R., Tullis J.A. Object-based change detection using correlation image analysis and image segmentation// Intern. Journal of Remote Sensing.—2008.—Vol. 29, N 2.— P. 399—423.
2. Kozhemyako V.P., Kutaev Y.F., Timchenko L.I. et al. The Q-Transformation Method Applying to the Facial Images Normalization// Proc. International ICSC IFAC Symposium on NEURAL COMPUTATION. —Vienna, 23—25 September, 1998. — P. 287—291.
3. Perveen S., James L.A. Changes in Correlation Coefficients with Spatial Scale and Implications for Water Resources and Vulnerability Data// The Professional Geographer. — 2012.—Vol. 64 (X). — P. 1—12.
4. Spüler M., Rosenstiel W., Bogdan M. One Class SVM and Canonical Correlation Analysis increase performance in a c-VEP based Brain-Computer Interface (BCI)// Proc. of 20th European Symposium on Artificial Neural Networks.— Bruges, Belgium, April. — 2012. — P. 103—108.
5. Yarovyy A., Timchenko L., Kokriatskaia N. Theoretical Aspects of Parallel-Hierarchical Multi-Level Transformation of Digital Signals//Proc. of the 11th International Conference on Development and Application Systems.— Suceava, Romania (Suceava, Universitatea Stefan cel Mare Suceava), May 2012.— P. 1—9.
6. Sharin A., Khan M.R., Imtiaz H. et al. An efficient face recognition algorithm based on frequency domain cross-correlation function//Electrical and Computer Engineering (ICECE). Intern. Conf., Dhaka, Bangladesh, December, 2010. — P. 183—186.
7. Zhao Q., Rutkowski T.M., Zhang L. , Cichocki A. Generalized optimal spatial filtering using a kernel approach with application to EEG classification// Cognitive Neurodynamic.—2010.—Vol. 4, N 4.— P. 355—358.
8. Pannekoucke O., Berre L., Desroziers G. Background error correlation length-scale estimates and their sampling statistics// Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. — 2008.— Vol. 134.— P. 497—511.
9. Donev A., Torquato S., Stillinger F.H. Pair correlation function characteristics of nearly jammed disordered and ordered hard-sphere packings// Physical Review E. — 2005.— 71, 011105.—P. 1—14.
10. Zhou Z., Tang X. New Families of Binary Low Correlation Zone Sequences Based on Interleaved Quadratic Form Sequences// IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communication and Computer Sciences. — 2008, E91-A, (11). — P. 3406—3409.
11. Zou K.H., Hall W.J. On estimating a transformation correlation coefficient// Journal of Applied Statistics. — 2002.— Vol. 29 (5). — P. 745—760.
12. Awwal A.A.S., Rice K.L., Taha T.M. Fast implementation of matched-filter-based automatic alignment image processing // Optics & Laser Technology. — 2009. — Vol. 41, N2.— P. 193—197.
13. Cherkasov A., Sprous D.G., Chen R. Three-Dimensional Correlation Analysis. A Novel Approach to the Quantification of Substituent Effects// The Journal of Physical Chemistry.— A. 2003.— Vol. 107, N 45. — P. 9695—9704.
14. Peña-Ortega C., Vélez-Reyes M. Evaluation of different structural models for target detection in hyperspectral imagery// Proc. SPIE Orlando, Florida, 2010, 7695. — P. 76952H—76952H-11.
15. Shawakfen O.Q., Gertsiy A.A., Timchenko L.I., et al. Method of recursive-contour preparing for image normalization// Proc. of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing. Antalya, Turkey, 1999. — P. 414—418.
16. Thirumalai V., Frossard P. Distributed Representation of Geometrically Correlated Images With Compressed Linear Measurements// IEEE Transactions on Image Processing.—2012.— Vol. 21, N 7.—P. 3206—3219.
17. Kou G., Lu Y., Yi Peng, Shi Y. Evaluation of classification algorithms usingMCDMand rank correlation//Intern. Journal of Information Technology & Decision Making (IJITDM). — 2012.— Vol. 11, N 01. — P. 197—225.
18. Zhao J., Zhang J., Yin J. A Parallel Differential Correlation Acquisition Algorithm in Time Domain // Wireless Communications, Networking and Mobile Computing, 2009. WiCom’09. 5th Intern. Conf., Shanghai, China, September, 2009. — P. 1—4.
19. Kozhemyako V., Timchenko L., Yarovyy A. Methodological Principles of Pyramidal and Parallel-Hierarchical Image Processing on the Base of Neural-Like Network Systems// Advances in Electrical and Computer Engineering.— 2008, Vol. 8, N 2. — P. 54—60.
20. Timchenko L.I., Kutaev Y.F., Chepornyuk S.V. et al. A Brain—Like Approach to Multistage Hierarchial Image// Proc. Image Analysis and Processing, Springer-Verlag—Italy, 1997.—P. 246—253.

ТИМЧЕНКО Леонид Иванович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой телекоммуникационных технологий и автоматики Государственного экономико-технологического университета транспорта. В 1979 г. окончил Винницкий политехнический ин-т. Область научных исследований — системы искусственного интеллекта.

КУТАЕВ Юрий Федорович, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., гл. конструктор, зам. генерального директора ЗАО «КИА Системы» (Россия, г. Москва). В 1969 г. окончил Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. Область научных исследований — цифровая обработка изображений, лазерная техника.

ЧЕПОРНЮК Сергей Владимирович, руководитель департамента проектирования систем управления ООО «КСК-Автоматизация» (г. Киев). В 1986 г. окончил Винницкий политехнический ин-т. Область научных исследований — цифровая обработка изображений.

КОКРЯЦКАЯ Наталья Ивановна, канд. техн. наук, доцент кафедры телекоммуникационных технологий и автоматики Государственного экономико-технологического университета транспорта. В 1973 г. окончила Винницкий педагогический ин-т. Область научных исследований — математическое моделирование и параллельная обработка информации.

ЯРОВОЙ Андрей Анатольевич, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры компьютерных наук Винницкого национального технического университета, который окончил в 2001 г. Область научных исследований — параллельные вычисления, обработка изображений, GPGPUтехнологии.

Полный текст: PDF (русский)

Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионного массопереноса в нанопористой среде

А.Я. Бомба, д-р техн. наук, Е.В. Присяжнюк, аспирант
Ровенский государственный гуманитарный университет
(Украина, 33028, Ровно, ул. Остафова, 31, каб. 110,
e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

АННОТАЦИЯ

Розроблено математичну модель сингулярно збуреного процесу конвективно-дифузійноадсорбційного масопереносу двох сортів забруднюючої речовини в середовищі, що складається з частинок мікропористої структури. Відповідну крайову задачу розв’язано в криволінійному чотирикутному паралелепіпеді. Побудовано асимптотичне розкладання її розв’язку, що дає можливість автономно доповнювати до конвективної складової розв’язку масообмінні та дифузійні складові, а також поправки на виході фільтраційної течії та вплив бічних джерел забруднень. Наведено результати числових розрахунків.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

конвекция, диффузия, массоперенос, нанопористая среда.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ruthven D.M. Principles of adsorption and adsorption processes. — N Y: Wiley-Interscience, 1984.— 464 p.
2. Веригин Н.Н., Шержуков Б.С. Диффузия и массообмен при фильтрации жидкостей в пористых середах// Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917—1967).— М. : Наука, 1969.— С. 237—313.
3. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів геогідродинаміки. — Київ: Наук. думка, 2007. — 308 с.
4. Бомба А.Я., Климюк Ю.Є. Математичне моделювання просторових сингулярно-збурених процесів типу фільтрація-конвекція-дифузія.— Рівне: «Асоль», 2014.—273 с.
5. Rolando M.A. Roque-Malherbe Adsorption and Diffusion in Nanoporous Materials. — Boca Raton: CRC Press, 2012.— 288 p.
6. Quirke N. Adsorption and Transport at the Nanoscale.—Taylor&Francis, 2006.—186 p.
7. Petryk M. Mathematical modeling of mass transfer in symmetric heterogeneous and nanoporous media with a system of n-interface interactions// Cybernetics and System Analysis.— 2007.— Vo. 43, № 1.— P. 94—111.
8. Петрик М.Р., Фрессард Ж., Михалик Д.М. Моделирование и анализ концентрационных полей нелинейной компетитивной двухкомпонентной диффузии в среде нанопористых частиц // Проблемы управления и информатики.—2009.—№4.—С. 73—83.
9. Дейнека В.С. , Петрик М.Р., Фрессард Ж. Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии // Кибернетика и системный анализ.— 2011.— № 5. — С. 45—64.
10. Бомба А.Я., Присяжнюк І.М., Присяжнюк О.В. Асимптотичний метод розв’язання одного класу модельних сингулярно збурених задач процесу масопереносу в різнопористих середовищах // Доп. НАН України. — 2013. —№ 3. — С. 28—34.
11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики.— М.: Научный мир, 2000. —358 c.
12. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Матем. моделирование.—2001.—13.—№ 5.—C. 90—96.

БОМБА Андрей Ярославович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики Ровенского государственного гуманитарного университета. В 1972 г. окончил Львовский государственный университет им. И. Франко. Область научных исследований —числовые методы комплексного анализа и теории возмущений моделирования
нелинейных процессов в пористых средах с последействием в условиях управления, идентификации и оптимизации параметров.

ПРИСЯЖНЮК Елена Викторовна, аспирант кафедры прикладной математики и информатики Ровенского государственного гуманитарного университета, который окончила в 2010 г. Область научных исследований — методы теории возмущений решения нелинейных сингулярно возмущенных задач конвективно-диффузионного массопереноса в пористых и нанопористых средах.

Полный текст: PDF (русский)

Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами

Э.И. Владимирский, Б.И. Исмайлов, кандидаты техн. наук
Азербайджанская государственная нефтяная академия
(Азербайджанская республика, AZ 1010, Баку, пр. Азадлыг, 20,
тел: (+994) 12 4651147, 12 4986220,
е-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.; Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

АННОТАЦИЯ

Розглянуто постановки задач синхронізації та керування нелінійними фізичними системами дробового порядку. Критерієм реалізації задачі є поняття середнього часу повернення Пуанкаре. Запропоновано узагальнений компактний метричний простір Пуанкаре з вимірністю <>. Наведено алгоритм визначення втрат пам’яті при навчанні системи.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

системы с памятью, возвраты Пуанкаре, фрактальность, дробность, визуализация.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Москва, 2011. —31 с.
2. Tarasov V.E. The fractional oscillator as an open system// Central European Journal of Physics. —2012.— 10 (2). — P. 382—389. DOI 10.2478/s11534-012-0008-0.
3. Tarasov V.E. Fractional Dynamics of Open Quantum Systems// Fractional Dynamics Nonlinear Physical Science.— 2010.— Vol. 0. — Ð. 467—490. DOI 10.1007/978-3-642-14003-7_20.
4. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл// Теоретическая и математическая физика. — 1992.— 90, №3.— С. 354—367.
5. Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная модель динамической системы.— http://www.rfbr.ru/rffi/ru/books/0_14704%20-%20p.14.
6. Владимирский Э.И. Времена возвращения Пуанкаре при взаимодействии хаотических и стохастических систем // Восточно-Европейский журнал передовых технологий.— 2012.— 6/4 (60). — С. 4—8.
7. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Дробная структура «перемешивание-транспорт» как открытая система// Там же.— 2014. — 4/4 (70). — С. 4—9.
8. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Визуализация времен возврата Пуанкаре в открытых системах дробного порядка// Сб. статей Междун. НПК «Новые задачи технич. наук и пути их решения» 1 сентября 2014 г, г. Уфа. —Уфа: Аэтерна, 2014.—С. 4—8.
9. Altman Eduardo G., Elton C. da Silva, Ibere L. Caldas Memory Effect on the Poincare Recurrence Time Series. — arXiv: nlin/0304027v2 [nlin. CD] 2 Sep 2003. — P. 1—9.
10. Santhanam M.S., Holger Kantr Return interval distribution of extreme events and long term memory.— arXiv: 0803.1706v1 [g-fin ST] 12 Mar. 2008. — P. 1—8.
11. Афраймович В., Угальде Э., Уриас Х. Фрактальные размерности для времен возвращения Пуанкаре.— М.: Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 292 с.
12. Анищенко В.С., Астахов С.В. Теория возвратов Пуанкаре и ее приложение к задачам нелинейной физики// УФН.— 2013. — 183, №10.— С. 1009—1028. DOI: 10.3367/UFNr.0183.201310a.1009.
13. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Нелинейный рекуррентный анализ как математическая модель управления хаотическими процессами // Информационные технологии.— 2011.— №5 (177). — С. 42—45.
14. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды.— УФН.— 1993. — 163, №12.— С. 1—49.
15. Ibedou Ismail, Takahisa Miyata The Theorem of Pontrjagin-Schnirelmann and approcsimate sequences// New Zeeland Journal of Mathematics.—2008.—Vol. 38.—P. 121— 128.
16. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Синергетические методы управления хаотическими системами. — Баку: ELM, 2011. — 240 с.
17. Бутковский А.Г., Постнов С.С., Постнова Е.А. Дробное интегродифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. I. Математические основы и проблема интерпретации// Автоматика и Телемеханика.— 2013. —№4.— C. 3—42.
18. Grigorenko I., Grigorenko E. Chaotic Dynamics of the Fractional Lorenz System// Physics Review Letters. — 2003.— Vol. 91. — P. 1—4.
19. Matouk A.E. Chaos Synchronization between Two Different Fractional systems of Lorenz Family// Mathematical Problems Engineering.—2009.—11 p. DOI :10.1155/2009/572—724.
20. Ke-hui Sun, Jian Ren, Shui-sheng Qiu. Co-coupled synchronization of fractional-order unified chaotic systems. — arXiv: 0909.2410[nlin.CD], 2009. — 8 p.
21. Petras Ivo. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation.— Springer, 2011.— 218 p.
22. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах.—М. : Техносфера, 2008.— 488 с.

ВЛАДИМИРСКИЙ Эдуард Иосифович, канд. техн. наук, старший науч. сотр. кафедры «Информационно-измерительная и компьютерная техника» Азербайджанской государственной нефтяной академии. Область научных исследований — синергетика, теория хаоса, физика дробных систем.

ИСМАЙЛОВ Бахрам Исрафил оглы, канд. техн. наук, доцент кафедры «Информационноизмерительная и компьютерная техника» Азербайджанской государственной нефтяной академии. Область научных исследований—синергетика, теория хаоса, физика дробных систем.

Полный текст: PDF (русский)